依靠數學模型和仿真，工程師可以對連續性的過程控製係統進行模擬測試，並根據測試推算係統以後的運行情況。
可ke塑su模mo型xing和he陶tao土tu模mo型xing展zhan現xian的de是shi對dui象xiang的de外wai形xing特te征zheng，和he這zhe種zhong模mo型xing不bu同tong，過guo程cheng模mo型xing則ze反fan映ying受shou控kong係xi統tong的de操cao作zuo過guo程cheng以yi及ji對dui外wai界jie幹gan擾rao的de響xiang應ying情qing況kuang。通tong常chang，過guo程cheng模mo型xing都dou可ke以yi用yong數shu學xue方fang程cheng來lai確que定ding係xi統tong輸shu入ru量liang和he輸shu出chu量liang之zhi間jian的de關guan係xi。
圖1：通過這個簡單的模型，可以推算出，當水以每分鍾F立方米的速率填充一個底半徑為R米的圓柱體水箱，t 分鍾後水麵高度L（單位：米） 是多少。
模型可以有效地幫助我們分析PID回路，也可以為過程控製係統的設計提供參照。舉個例子來說，如圖1所示，是給一個圓柱形水箱充水的過程。假設水流入的速率是F，在t分鍾後，水箱裏的水麵高度為：
[1]
其中，R是水箱底部圓的半徑。這樣一個模型可以用來推算，若要裝滿整個水箱，控製器需要運行多長時間。
模型的要素
guochengmoxingyuefuza，baokuodebianliangjiuyueduo，tamenzhijiandeshuxueguanxiyegengjiafuza，danbuguanxitongduofuza，fanshilianxuguochengdemoxingdoubaokuoyixiasigejibenyaosu：
■輸入變量;
■輸出變量;
■常數項
■算法
輸出是在開發模型時，通過輸入量的值分析得出的預期值。在填充水箱的例子中，輸出量L就可以由輸入量t和F的值推算出來。
常數R的值取決於水箱的大小。一般情況下，常數是反映各基礎科學的基本原理的常量，如物理學、化學、經濟學、幾何學等，它決定著過程的基本性能，而且這些常數是恒定不變的，不會因輸入輸出值隨時間的變化而變化。
算法包括多種數學運算方法，主要是用來根據輸入和常量值推算輸出值。簡單的像乘法和乘方，如方程[1]所示；複雜的如拉普拉斯變換和統計分配定律。
控製模型
過程模型可以為設計、執行、fankuikongzhiceshitigongyouxiaodebangzhu。daduoshujiexifaxuyaoyigehanzengyiheshijianchangshuzaineidemoxing，tongguojiancexitongdefankuihexiangyingsudu，laipanduangaikongzhixitongdekongzhixingneng。dangduimoxingcanshuyouyidinglejiehou，gongchengshikeyigeiguomandejinchengzengjiayigexiangyingjiaokuaidekongzhiqi，huoshigeiguokuaidejinchengzengjiayigejiaomandekongzhiqi，yidadaoyuqidexiaoguo。
同tong樣yang，模mo擬ni預yu測ce控kong製zhi器qi可ke以yi用yong數shu學xue模mo型xing來lai測ce定ding控kong製zhi係xi統tong的de性xing能neng，以yi判pan斷duan受shou控kong變bian量liang是shi否fou精jing確que的de達da到dao了le控kong製zhi要yao求qiu。在zai運yun行xing過guo程cheng中zhong通tong過guo比bi較jiao得de出chu的de反fan饋kui，可ke以yi進jin行xing自zi我wo調tiao整zheng。
即ji使shi某mou控kong製zhi方fang案an是shi基ji於yu某mou特te殊shu應ying用yong而er開kai發fa的de，在zai進jin行xing實shi際ji應ying用yong之zhi前qian，也ye可ke以yi利li用yong過guo程cheng模mo型xing在zai虛xu擬ni環huan境jing下xia對dui該gai控kong製zhi方fang案an進jin行xing測ce試shi。模mo型xing的de控kong製zhi方fang程cheng可ke以yi直zhi接jie編bian程cheng寫xie入ru，也ye可ke以yi幾ji種zhong常chang用yong仿fang真zhen語yu言yan中zhong的de任ren意yi一yi種zhong或huo者zhe自zi定ding義yi碼ma寫xie入ru專zhuan用yong的de調tiao試shi機ji中zhong。在zai計ji算suan機ji上shang進jin行xing仿fang真zhen，可ke以yi更geng快kuai的de發fa現xian該gai控kong製zhi方fang案an中zhong的de不bu足zu，也ye不bu用yong擔dan心xin會hui對dui真zhen實shi的de工gong程cheng造zao成cheng任ren何he損sun失shi。
模型開發實例
不管用途是什麼，建立模型的訣竅就是把係統的運行狀態用一係列的控製方程表示出來，如方程[1]所示。以"倒置的單擺模型"為例，如圖所示，在地麵上固定一個彈簧，彈簧頂端固定安放一個重物。水平方向的力使該物體在一個弧形範圍內來回擺動。
這(zhe)個(ge)模(mo)型(xing)的(de)運(yun)行(xing)狀(zhuang)態(tai)經(jing)過(guo)變(bian)形(xing)可(ke)以(yi)被(bei)應(ying)用(yong)於(yu)多(duo)個(ge)仿(fang)真(zhen)研(yan)究(jiu)。可(ke)以(yi)把(ba)它(ta)看(kan)成(cheng)一(yi)個(ge)兒(er)童(tong)玩(wan)具(ju)，也(ye)可(ke)以(yi)把(ba)它(ta)看(kan)成(cheng)某(mou)高(gao)層(ceng)建(jian)築(zhu)物(wu)在(zai)風(feng)中(zhong)搖(yao)晃(huang)的(de)縮(suo)影(ying)。加(jia)上(shang)一(yi)個(ge)接(jie)頭(tou)，也(ye)可(ke)以(yi)近(jin)似(si)看(kan)成(cheng)是(shi)人(ren)在(zai)邁(mai)腿(tui)大(da)步(bu)行(xing)走(zou)時(shi)腿(tui)部(bu)的(de)動(dong)作(zuo)。
wulunshinazhongqingkuang，jibenyuanlidoushixiangtongde。danhuangduiwutidedanlihewutizishendezhonglishixiangduide。ruguojiangwutihedanhuangheqilai，kanchengshiyigezhixinlidimianH米，質量為m千克的聯合裝置，整個裝置的運動狀態就可以用含有弧度q的方程式表示，如圖所示。
實際應用檢測
正(zheng)如(ru)這(zhe)個(ge)裝(zhuang)置(zhi)的(de)簡(jian)化(hua)過(guo)程(cheng)一(yi)樣(yang)，這(zhe)個(ge)模(mo)型(xing)是(shi)逼(bi)近(jin)現(xian)實(shi)的(de)模(mo)擬(ni)。假(jia)定(ding)不(bu)存(cun)在(zai)任(ren)何(he)外(wai)力(li)影(ying)響(xiang)物(wu)體(ti)的(de)運(yun)動(dong)，如(ru)摩(mo)擦(ca)力(li)等(deng)，而(er)彈(dan)簧(huang)對(dui)物(wu)體(ti)的(de)彈(dan)力(li)也(ye)與(yu)角(jiao)坐(zuo)標(biao)θ完全成比例。另外還要假定，該運動過程是從一個絕對垂直位置開始的（即θ的初始值為零）。
由於當θ無窮小時，q和sin(θ)的值近似相等。用q替換sin(θ)方程式[2]可以簡化成方程式[3]，根據式[3]畫出關於θ的趨勢圖，得到一條斜率為-（k- mg）/mh的直線，因此式[3]為關於θ的線性方程。
倒置單擺模型
[2]
簡化後的倒置單擺模型
[3]
對簡化模型方程求解
[4]
由上式解得
[5]
[6]
角速度變量的θ”是角速度θ的二次導數，t為該物體從初始位置到現在的運動時間，θ'0是物體在外力作用下的初始角速度，A是物體擺動的振幅，ω為振動的頻率。A和ω是兩個值取決於k，m，g，h和θ'的常量，如等式[5]和等式[6]所示。
方程式[3]真正的價值在於，通過它可以得到一個θ關於時間的趨勢圖，根據趨勢圖，我們可以預測該過程以後的運行狀態。這個碰巧是一個隻用方程式[3]這種線性方程就可以解決的問題。實際上，對方程式[3]進行求解，我們也可以得到關於θ（t）的表達式，如方程式[4]所顯示。
點位置。彈簧裝置在水平外力的作用下，從一個絕對垂直位置開始做弧形運動。該裝置的重力mg.sin(θ)和彈簧產生的彈力K下相對且互相平衡。其中常數g和k分別代表重力加速度和彈簧彈力係數。 相比之下，含有正弦函數的非線性方程，像方程[2]，duizhezhongleisibihuanxitongdefangchengqiujiejiuxiangduifuzayixie。henduoshihou，weilejianhuashuxueyunsuan，gongchengshiwangwanghuagengduodeshijianhejingliqujianliyigexianxingmoxingerbushifeixianxingde。
局限性
不過，簡化後的方程式[3]在精確的控製輸出變量θ(t)shang，bingbushitebiedeyouxiao。yinweiheshijicaozuoguochengbutong，tasuobaohandeshurubianliangbushiyigekegaibiandeliang，ershijiguochengzhong，caozuorenyuankenenghuifuyuwutixindeweiyihuoxindesudu。
即使對這個過程以及模型加以修一定的局限性。因為，隻有在產生的擺動幅度小到足以使θ近似地和sin(θ)相等時，簡化得出的方程式[3]才有效。否則，係統的的真實運行狀態應該按照方程式[2]進行計算。
shijiyunxingzhong，yunxingzhuangtaitongchanghuiyinshuruheshuchudegaibianerbianhua，liru，dangbianliangcongjidizhishenggaodaojigaozhi，zaicongjigaozhimanmanhuiluodeguochengzhong，daduoshuyunxingzhuangtaihuiyinciergaibian。zaishuixiangtianchongzhegeshiyanzhong，dangyeweitianchongdaoxiangtituchubupingdeweizhi，zhegemoxingyejiangshixiao。suo
以，過程模型中必須考慮到這些可能出現的變動，否則，依靠這些未經改善的模型進行操作，不可能達到預期的控製效果。
另外，在倒置單擺模型中，如果初始條件沒有被準確的記錄下來，方程[3]也不可能準確描述該裝置的實際運動狀態。在這個模型裏，唯一的初始條件就是θ'0，它反映了物體在在初始時間t=0時，受到外力作用產生的初始角速度。式[6]可以看出θ'的值對物體擺動的振幅的影響。受到外力所產生的初始角速度θ'0越大，則物體每一次擺動的振幅A就會越大。
盡管如此，如果θ'的測量值有誤差，那麼根據該模型所計算出的振幅也將和物體的實際狀況出現偏差。同樣，如果物體不是嚴格的從絕對垂直位置（即θ(0)=0的位置）出(chu)發(fa)，對(dui)模(mo)型(xing)的(de)行(xing)為(wei)預(yu)測(ce)也(ye)將(jiang)出(chu)現(xian)偏(pian)差(cha)。在(zai)應(ying)用(yong)過(guo)程(cheng)中(zhong)，為(wei)了(le)讓(rang)實(shi)際(ji)運(yun)行(xing)狀(zhuang)態(tai)和(he)通(tong)過(guo)模(mo)型(xing)測(ce)試(shi)推(tui)算(suan)出(chu)的(de)狀(zhuang)態(tai)完(wan)全(quan)符(fu)合(he)，控(kong)製(zhi)工(gong)程(cheng)師(shi)通(tong)常(chang)將(jiang)係(xi)統(tong)的(de)所(suo)有(you)初(chu)始(shi)條(tiao)件(jian)設(she)置(zhi)為(wei)零(ling)，以(yi)避(bi)免(mian)因(yin)初(chu)始(shi)條(tiao)件(jian)的(de)偏(pian)差(cha)而(er)造(zao)成(cheng)結(jie)論(lun)推(tui)算(suan)的(de)誤(wu)差(cha)。
仿真結果
不bu過guo，當dang這zhe些xie限xian製zhi條tiao件jian可ke以yi被bei確que認ren並bing被bei削xue弱ruo到dao極ji小xiao的de時shi候hou，就jiu可ke以yi離li用yong過guo程cheng模mo型xing對dui實shi際ji狀zhuang況kuang進jin行xing相xiang當dang準zhun確que的de仿fang真zhen。在zai已yi知zhi過guo程cheng的de運yun行xing狀zhuang況kuang的de前qian提ti下xia，工gong程cheng師shi會hui將jiang模mo型xing放fang入ru到dao各ge種zhong可ke能neng出chu現xian的de環huan境jing中zhong，進jin行xing有you代dai表biao性xing的de一yi係xi列lie測ce試shi，以yi保bao證zheng係xi統tong精jing度du。
例如，當風突然變大，大廈將會搖晃的更加厲害。對倒置的單擺模型加以修改，增加初始擾動（θ’0），即增加初始的角速度，也可以模擬出一個類似的測試環境。式[6]可以看出，振幅A和初始速度θ’0成正比，當初始速度增加，振幅也將相應的增加，正如實際情況中大廈的情況一樣。
仿(fang)真(zhen)最(zui)大(da)的(de)優(you)點(dian)在(zai)於(yu)，可(ke)以(yi)在(zai)實(shi)際(ji)操(cao)作(zuo)從(cong)沒(mei)嚐(chang)試(shi)過(guo)的(de)環(huan)境(jing)中(zhong)進(jin)行(xing)測(ce)試(shi)。特(te)別(bie)是(shi)，在(zai)仿(fang)真(zhen)過(guo)程(cheng)中(zhong)，可(ke)能(neng)發(fa)現(xian)一(yi)些(xie)沒(mei)考(kao)慮(lv)到(dao)意(yi)外(wai)狀(zhuang)況(kuang)，可(ke)能(neng)是(shi)在(zai)實(shi)際(ji)應(ying)用(yong)中(zhong)必(bi)須(xu)避(bi)免(mian)的(de)危(wei)險(xian)情(qing)況(kuang)；yekenengshidangqianxitonghaixuyaogaijindeloudong。dangjiyuyigeyouxiaodemoxingjinxingfangzhenshi，gongchengshijiukeyicongfanfudeshiyanhewuchatiaoshizhong，wanshanbingzhenghexitongyunxingbixudegezhongtiaojian（如溫度、壓力、流速等），大大的降低生產成本。 |
